Algèbre Exemples

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Étape 1

Définissez $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ égal à $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $r$ à partir de $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{5}$ .

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $r$ à partir de $- 7 r^{3}$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $r$ à partir de $- 8 r$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez $r$ à partir de $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.2.5

Factorisez $r$ à partir de $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $r^{4}$ comme ${(r^{2})}^{2}$ .

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = r^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $r^{2}$ par $u$ .

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} - 7 u - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 8, 1$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.7

Réécrivez $r^{4}$ comme ${(r^{2})}^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = r^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $r^{2}$ par $u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ et dont la somme est $b = - 43$ .

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Étape 2.1.9.1.1

Factorisez $- 43$ à partir de $- 43 u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Étape 2.1.9.1.2

Réécrivez $- 43$ comme $5$ plus $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Étape 2.1.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Étape 2.1.9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Étape 2.1.9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Étape 2.1.9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Étape 2.1.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $r^{2} + 1$ à partir de $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $r^{2} + 1$ à partir de $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $r^{2} + 1$ à partir de $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.13

Multipliez $r$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.13.1

Multipliez $r$ par $r^{2}$ .

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Étape 2.1.13.1.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.14

Déplacez $- 8$ à gauche de $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Étape 2.1.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Étape 2.1.16

Factorisez.

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Étape 2.1.16.1

Réécrivez $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.16.1.1

Factorisez $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.16.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.16.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Étape 2.1.16.1.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.16.1.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.4

Multipliez $5$ par $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.5

Additionnez $27$ et $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.6

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$72 - 24 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.7

Soustrayez $24$ de $72$ .

$48 - 48$

Étape 2.1.16.1.1.3.8

Soustrayez $48$ de $48$ .

$0$

Étape 2.1.16.1.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $r - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Étape 2.1.16.1.1.5

Divisez $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ par $r - 3$ .

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Étape 2.1.16.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Étape 2.1.16.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $r^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Étape 2.1.16.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Étape 2.1.16.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $r^{3} - 3 r^{2}$

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Étape 2.1.16.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Étape 2.1.16.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Étape 2.1.16.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 r^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Étape 2.1.16.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Étape 2.1.16.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 r^{2} - 24 r$

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Étape 2.1.16.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Étape 2.1.16.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Étape 2.1.16.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 r$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Étape 2.1.16.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Étape 2.1.16.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 r - 48$

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Étape 2.1.16.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Étape 2.1.16.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$r^{2} + 8 r + 16$

Étape 2.1.16.1.1.6

Écrivez $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ comme un ensemble de facteurs.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Étape 2.1.16.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.16.1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Étape 2.1.16.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Étape 2.1.16.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 2.1.16.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = r$ et $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $r^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $r^{2} + 1$ égal à $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $r^{2} + 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} = - 1$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \pm i$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = i$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - i$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = i, - i$

Étape 2.4

Définissez $r - 3$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $r - 3$ égal à $0$ .

$r - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 3$

Étape 2.5

Définissez ${(r + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(r + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(r + 4)}^{2} = 0$ pour $r$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $r + 4$ égal à $0$ .

$r + 4 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ vraie.

$r = i, - i, 3, - 4$

Étape 3