Algèbre Exemples

$2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 4)}^{1} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x - 4) = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 4 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$4 x - 16 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ comme $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ .

$4 x - 16 = (- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1} + 4) + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 x - 16 = 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Multipliez $\sqrt{x - 1}$ par $1$ .

$4 x - 16 = \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Élevez $\sqrt{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ comme $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x - 16 = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$4 x - 16 = x - 1 - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 16$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $- 1$ et $16$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1}$

Étape 2.3.1.3.3

Soustrayez $4 \sqrt{x - 1}$ de $- 4 \sqrt{x - 1}$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 8 \sqrt{x - 1}$

Étape 3

Résolvez $- 8 \sqrt{x - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$ .

$x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 8 \sqrt{x - 1}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x - 15$

Étape 3.2.3

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 16 - 15$

Étape 3.2.4

Soustrayez $15$ de $- 16$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 31$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 8 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$64 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$64 {(x - 1)}^{1} = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$64 (x - 1) = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$64 x + 64 \cdot - 1 = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$64 x - 64 = {(3 x - 31)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Simplifiez ${(3 x - 31)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(3 x - 31)}^{2}$ comme $(3 x - 31) (3 x - 31)$ .

$64 x - 64 = (3 x - 31) (3 x - 31)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(3 x - 31) (3 x - 31)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$64 x - 64 = 3 x (3 x - 31) - 31 (3 x - 31)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x - 31)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $- 31$ par $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x - 31 \cdot - 31$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 31$ par $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x + 961$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $93 x$ de $- 93 x$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 186 x + 961$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} - 186 x + 961 = 64 x - 64$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $64 x$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 186 x + 961 - 64 x = - 64$

Étape 6.2.2

Soustrayez $64 x$ de $- 186 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 961 = - 64$

Étape 6.3

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 250 x + 961 + 64 = 0$

Étape 6.4

Additionnez $961$ et $64$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Étape 6.5

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 1025 = 9225$ et dont la somme est $b = - 250$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Factorisez $- 250$ à partir de $- 250 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Étape 6.5.1.2

Réécrivez $- 250$ comme $- 45$ plus $- 205$

$9 x^{2} + (- 45 - 205) x + 1025 = 0$

Étape 6.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} - 45 x - 205 x + 1025 = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 x^{2} - 45 x) - 205 x + 1025 = 0$

Étape 6.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$9 x (x - 5) - 205 (x - 5) = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 5$ .

$(x - 5) (9 x - 205) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$9 x - 205 = 0$

Étape 6.7

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.8

Définissez $9 x - 205$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Définissez $9 x - 205$ égal à $0$ .

$9 x - 205 = 0$

Étape 6.8.2

Résolvez $9 x - 205 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.1

Ajoutez $205$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 205$

Étape 6.8.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 205$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 205$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Étape 6.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Étape 6.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{205}{9}$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (9 x - 205) = 0$ vraie.

$x = 5, \frac{205}{9}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$ vrai.

$x = 5$