Algèbre Exemples

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 (n) + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $5$ comme $2$ plus $3$

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + (2 + 3) n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(2 n^{2} + 2 n) + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n (n + 1) + 3 (n + 1)}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $n + 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{9 - 4 n^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - 4 n^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $4 n^{2}$ comme ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - {(2 n)}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = 2 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - (2 n))}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $n + 1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $2 n + 3$ et $3 + 2 n$ .

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Étape 3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 n - 3) \cdot \frac{1}{3 - 2 n}$

Étape 3.3

Multipliez $2 n - 3$ par $\frac{1}{3 - 2 n}$ .

$\frac{2 n - 3}{3 - 2 n}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2 n - 3$ et $3 - 2 n$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 n$ .

$\frac{- (- 2 n) - 3}{3 - 2 n}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (- 2 n) - 1 (3)}{3 - 2 n}$

Étape 3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 n) - 1 (3)$ .

$\frac{- (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Étape 3.4.4

Réécrivez $- (- 2 n + 3)$ comme $- 1 (- 2 n + 3)$ .

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Étape 3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Étape 3.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Étape 3.4.7

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$