Algèbre Exemples

$\sqrt{6 x - 18} + 6 \leq 15$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{6 x - 18}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{6 x - 18} \leq 15 - 6$

Étape 1.2

Soustrayez $6$ de $15$ .

$\sqrt{6 x - 18} \leq 9$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{6 x - 18}}^{2} \leq 9^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 x - 18}$ comme ${(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 9^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 x - 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 x - 18)}^{1} \leq 9^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$6 x - 18 \leq 9^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$6 x - 18 \leq 81$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 x \leq 81 + 18$

Étape 4.1.2

Additionnez $81$ et $18$ .

$6 x \leq 99$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $6 x \leq 99$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x \leq 99$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{99}{6}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{99}{6}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{99}{6}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $99$ et $6$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $99$ .

$x \leq \frac{3 (33)}{6}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x \leq \frac{3 \cdot 33}{3 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \leq \frac{3 \cdot 33}{3 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \leq \frac{33}{2}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\sqrt{6 (x - 3)} - 9$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 (x - 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 (x - 3) \geq 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $6 (x - 3) \geq 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (x - 3) \geq 0$ par $6$ .

$\frac{6 (x - 3)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x - 3)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Divisez $x - 3$ par $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x - 3 \geq 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3$

$3 < x < \frac{33}{2}$

$x > \frac{33}{2}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 (0) - 18} + 6 \leq 15$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < \frac{33}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < \frac{33}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 (6) - 18} + 6 \leq 15$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $10.24264068$ est inférieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{33}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{33}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 19$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $19$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{6 (19) - 18} + 6 \leq 15$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $15.79795897$ est supérieur au côté droit $15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3$ Faux

$3 < x < \frac{33}{2}$ Vrai

$x > \frac{33}{2}$ Faux

$x < 3$ Faux

$3 < x < \frac{33}{2}$ Vrai

$x > \frac{33}{2}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$3 \leq x \leq \frac{33}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$3 \leq x \leq \frac{33}{2}$

Notation d’intervalle :

$[3, \frac{33}{2}]$

Étape 10