Algèbre Exemples

$K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$

Étape 1

Écrivez $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y + 1}{3 y - 2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $3 y - 2$ .

$(3 y - 2) (x) = (\frac{2 y + 1}{3 y - 2}) (3 y - 2)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x - 2 x = (\frac{2 y + 1}{3 y - 2}) (3 y - 2)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 2$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y x - 2 x = \frac{2 y + 1}{3 y - 2} (3 y - 2)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y x - 2 x = 2 y + 1$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x - 2 x - 2 y = 1$

Étape 3.4.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x - 2 y = 1 + 2 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $3 y x - 2 y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = 1 + 2 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = 1 + 2 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = 1 + 2 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = 1 + 2 x$ par $3 x - 2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = 1 + 2 x$ par $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $K^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$

Étape 5

Vérifiez si $K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $K^{- 1} (K (x)) = x$ et $K (K^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $K^{- 1} (K (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$K^{- 1} (K (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2})$ en remplaçant la valeur de $K$ par $K^{- 1}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2})}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{1 + \frac{2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x - 2}{3 x - 2} + \frac{2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x - 2 + 2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (2 x + 1) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez $\frac{3 x + 2 (2 x + 1) - 2}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 4 x + 2 \cdot 1 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 4 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.5.4

Additionnez $3 x$ et $4 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.5.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.3.5.6

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} - 2}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} - 2 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} + \frac{- 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 6 x - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 6 x + 4}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.7

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 3 + 4}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.8

Additionnez $0$ et $3$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 4}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.4.5.9

Additionnez $3$ et $4$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{7}{3 x - 2}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $K (K^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$K (K^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2})$ en remplaçant la valeur de $K^{- 1}$ par $K$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) + 1}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Associez $2$ et $\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + 1}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x) + 3 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (1 + 2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $\frac{3 x + 2 (1 + 2 x) - 2}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 + 2 (2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 + 4 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.5.4

Additionnez $3 x$ et $4 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.5.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.3.5.6

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} - 2}$

Étape 5.3.4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} - 2 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + \frac{- 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{3 (1 + 2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 3 (2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 6 x + 4}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.7

Additionnez $3$ et $4$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x - 6 x + 7}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.8

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 7}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.9

Additionnez $0$ et $7$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{7}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $K^{- 1} (K (x)) = x$ et $K (K^{- 1} (x)) = x$ , $K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$