Algèbre Exemples

${(x + y)}^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = {(x + y)}^{7}$ .

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = {(x + y)}^{7}$

Étape 2

Simplifiez ${(x + y)}^{7}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez.

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = 0 + 0 + {(x + y)}^{7}$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = {(x + y)}^{7}$

Étape 2.3

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $x^{7}$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7}$

Étape 3.2

Soustrayez $7 x^{6} y$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y$

Étape 3.3

Soustrayez $35 x^{4} y^{b}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{5} y^{2} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b}$

Étape 3.4

Soustrayez $35 x^{3} y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{5} y^{2} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4}$

Étape 3.5

Soustrayez $21 x^{2} y^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{5} y^{2} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5}$

Étape 3.6

Soustrayez $7 x y^{6}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{5} y^{2} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6}$

Étape 3.7

Soustrayez $y^{7}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{5} y^{2} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8

Associez les termes opposés dans $x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$ .

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Étape 3.8.1

Soustrayez $x^{7}$ de $x^{7}$ .

$a x^{5} y^{2} = 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} + 0 - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.2

Additionnez $7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$ et $0$ .

$a x^{5} y^{2} = 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - 7 x^{6} y - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.3

Soustrayez $7 x^{6} y$ de $7 x^{6} y$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} + 0 - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.4

Additionnez $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$ et $0$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.5

Soustrayez $35 x^{3} y^{4}$ de $35 x^{3} y^{4}$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} + 0 - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.6

Additionnez $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b}$ et $0$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.7

Soustrayez $21 x^{2} y^{5}$ de $21 x^{2} y^{5}$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} + 0 - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.8

Additionnez $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b}$ et $0$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 7 x y^{6} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Étape 3.8.9

Soustrayez $7 x y^{6}$ de $7 x y^{6}$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} + 0 - y^{7}$

Étape 3.8.10

Additionnez $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b}$ et $0$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + y^{7} - 35 x^{4} y^{b} - y^{7}$

Étape 3.8.11

Soustrayez $y^{7}$ de $y^{7}$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - 35 x^{4} y^{b} + 0$

Étape 3.8.12

Additionnez $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - 35 x^{4} y^{b}$ et $0$ .

$a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - 35 x^{4} y^{b}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - 35 x^{4} y^{b}$ par $x^{5} y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $a x^{5} y^{2} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - 35 x^{4} y^{b}$ par $x^{5} y^{2}$ .

$\frac{a x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a y^{2}}{y^{2}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a y^{2}}{y^{2}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{21 x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{21 x^{5} y^{2}}{x^{5} y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{21 y^{2}}{y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{21 y^{2}}{y^{2}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.2.2

Divisez $21$ par $1$ .

$a = 21 + \frac{35 x^{4} y^{3}}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{5}$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $35 x^{4} y^{3}$ .

$a = 21 + \frac{x^{4} (35 y^{3})}{x^{5} y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.3.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} y^{2}$ .

$a = 21 + \frac{x^{4} (35 y^{3})}{x^{4} (x y^{2})} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = 21 + \frac{x^{4} (35 y^{3})}{x^{4} (x y^{2})} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = 21 + \frac{35 y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $35 y^{3}$ .

$a = 21 + \frac{y^{2} (35 y)}{x y^{2}} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.4.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$a = 21 + \frac{y^{2} (35 y)}{y^{2} x} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = 21 + \frac{y^{2} (35 y)}{y^{2} x} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{- 35 x^{4} y^{b}}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{5}$ .

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Étape 4.3.1.5.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $- 35 x^{4} y^{b}$ .

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{x^{4} (- 35 y^{b})}{x^{5} y^{2}}$

Étape 4.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.5.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} y^{2}$ .

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{x^{4} (- 35 y^{b})}{x^{4} (x y^{2})}$

Étape 4.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{x^{4} (- 35 y^{b})}{x^{4} (x y^{2})}$

Étape 4.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{- 35 y^{b}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.1.6

Annulez le facteur commun à $y^{b}$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.1.6.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 35 y^{b}$ .

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{y^{2} (- 35 y^{b - 2})}{x y^{2}}$

Étape 4.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.6.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{y^{2} (- 35 y^{b - 2})}{y^{2} x}$

Étape 4.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{y^{2} (- 35 y^{b - 2})}{y^{2} x}$

Étape 4.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = 21 + \frac{35 y}{x} + \frac{- 35 y^{b - 2}}{x}$

Étape 4.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 21 + \frac{35 y}{x} - \frac{35 y^{b - 2}}{x}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $21$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$a = \frac{21 x}{x} - \frac{35 y^{b - 2}}{x} + \frac{35 y}{x}$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{21 x - 35 y^{b - 2}}{x} + \frac{35 y}{x}$

Étape 4.3.4

Factorisez $7$ à partir de $21 x - 35 y^{b - 2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $7$ à partir de $21 x$ .

$a = \frac{7 (3 x) - 35 y^{b - 2}}{x} + \frac{35 y}{x}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $7$ à partir de $- 35 y^{b - 2}$ .

$a = \frac{7 (3 x) + 7 (- 5 y^{b - 2})}{x} + \frac{35 y}{x}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (3 x) + 7 (- 5 y^{b - 2})$ .

$a = \frac{7 (3 x - 5 y^{b - 2})}{x} + \frac{35 y}{x}$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{7 (3 x - 5 y^{b - 2}) + 35 y}{x}$

Étape 4.3.6

Factorisez $7$ à partir de $7 (3 x - 5 y^{b - 2}) + 35 y$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $35 y$ .

$a = \frac{7 (3 x - 5 y^{b - 2}) + 7 (5 y)}{x}$

Étape 4.3.6.2

Factorisez $7$ à partir de $7 (3 x - 5 y^{b - 2}) + 7 (5 y)$ .

$a = \frac{7 (3 x - 5 y^{b - 2} + 5 y)}{x}$