Algèbre Exemples

$(\sqrt{2} + i \sqrt{3}) (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{2} + i \sqrt{3}) (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} - i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (\sqrt{2} - i \sqrt{3})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 + \sqrt{2} (- i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.5

Multipliez $\sqrt{2} (- i \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - i \sqrt{2 \cdot 3} + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{3} \sqrt{2} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.6

Multipliez $i \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{2 \cdot 3} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 2.1.7

Multipliez $i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Étape 2.1.7.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- (i^{1} i) \sqrt{3})$

Étape 2.1.7.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{3})$

Étape 2.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- i^{1 + 1} \sqrt{3})$

Étape 2.1.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + \sqrt{3} (- i^{2} \sqrt{3})$

Étape 2.1.7.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 2.1.7.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 2.1.7.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.7.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.1.8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} - - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.1.10

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3^{1}$

Étape 2.1.11.5

Évaluez l’exposant.

$2 - i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 3$

Étape 2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$- i \sqrt{6} + i \sqrt{6} + 5$

Étape 2.3

Additionnez $- i \sqrt{6}$ et $i \sqrt{6}$ .

$0 + 5$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$