Algèbre Exemples

$\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ par $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ par $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})}{- 4}$

Étape 3

Développez $(3 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{- 4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5})}{- 4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 4.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 4}$

Étape 4.1.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25}}{- 4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{- 4}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5}{- 4}$

Étape 4.2

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{8 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 4.3

Additionnez $3 \sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{5}$ et $- 4$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (2) + 4 \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 5.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (\sqrt{5})}{- 4}$

Étape 5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2) + 4 (\sqrt{5})$ .

$\frac{4 (2 + \sqrt{5})}{- 4}$

Étape 5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 + \sqrt{5}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{5})$

Étape 6

Réécrivez $- 1 \cdot (2 + \sqrt{5})$ comme $- (2 + \sqrt{5})$ .

$- (2 + \sqrt{5})$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{5}$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - \sqrt{5}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 - \sqrt{5}$

Forme décimale :

$- 4.23606797 \dots$