Algèbre Exemples

$3 x - y^{2} = 4 x + 25$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x - y^{2} - 4 x = 25$

Étape 1.2

Soustrayez $4 x$ de $3 x$ .

$- y^{2} - x = 25$

Étape 2

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 25 + y^{2}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- x = 25 + y^{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- x = 25 + y^{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Divisez $25$ par $- 1$ .

$x = - 25 + \frac{y^{2}}{- 1}$

Étape 3.3.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 25 - 1 \cdot y^{2}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$x = - 25 - y^{2}$

Étape 4

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 4.1.1

Remettez dans l’ordre $- 25$ et $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} - 25$

Étape 4.1.2

Complétez le carré pour $- y^{2} - 25$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = - 25$

Étape 4.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.1.2.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Étape 4.1.2.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 0$ comme $- 0$ .

$d = - 0$

Étape 4.1.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0$

Étape 4.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = - 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 25 - \frac{0}{- 4}$

Étape 4.1.2.4.2.1.3

Divisez $0$ par $- 4$ .

$e = - 25 - 0$

Étape 4.1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = - 25 + 0$

Étape 4.1.2.4.2.2

Additionnez $- 25$ et $0$ .

$e = - 25$

Étape 4.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 0)}^{2} - 25$ .

$- {(y + 0)}^{2} - 25$

Étape 4.1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - {(y + 0)}^{2} - 25$

Étape 4.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = - 25$

$k = 0$

Étape 4.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 4.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 25, 0)$

Étape 4.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 4.6

Déterminez le foyer.

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Étape 4.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 4.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{101}{4}, 0)$

Étape 4.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 0$

Étape 4.8

Déterminez la directrice.

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Étape 4.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 4.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{99}{4}$

Étape 4.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 25, 0)$

Foyer : $(- \frac{101}{4}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = - \frac{99}{4}$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 25, 0)$

Foyer : $(- \frac{101}{4}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = - \frac{99}{4}$

Étape 5

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 5.1

Remplacez la valeur $x$ $- 27$ dans $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ . Dans ce cas, le point est $(- 27, 1.41421356)$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 27$ dans l’expression.

$f (- 27) = \sqrt{- (- 27) - 25}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$f (- 27) = \sqrt{27 - 25}$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $25$ de $27$ .

$f (- 27) = \sqrt{2}$

Étape 5.1.2.3

La réponse finale est $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 5.1.3

Convertissez $\sqrt{2}$ en décimale.

$= 1.41421356$

Étape 5.2

Remplacez la valeur $x$ $- 27$ dans $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ . Dans ce cas, le point est $(- 27, - 1.41421356)$ .

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Étape 5.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 27$ dans l’expression.

$f (- 27) = - \sqrt{- (- 27) - 25}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{27 - 25}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $25$ de $27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{2}$

Étape 5.2.2.3

La réponse finale est $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 5.2.3

Convertissez $- \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 1.41421356$

Étape 5.3

Remplacez la valeur $x$ $- 26$ dans $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ . Dans ce cas, le point est $(- 26, 1)$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 26$ dans l’expression.

$f (- 26) = \sqrt{- (- 26) - 25}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 26$ .

$f (- 26) = \sqrt{26 - 25}$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $25$ de $26$ .

$f (- 26) = \sqrt{1}$

Étape 5.3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 26) = 1$

Étape 5.3.2.4

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 5.3.3

Convertissez $1$ en décimale.

$= 1$

Étape 5.4

Remplacez la valeur $x$ $- 26$ dans $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ . Dans ce cas, le point est $(- 26, - 1)$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 26$ dans l’expression.

$f (- 26) = - \sqrt{- (- 26) - 25}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{26 - 25}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $25$ de $26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{1}$

Étape 5.4.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 26) = - 1 \cdot 1$

Étape 5.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- 26) = - 1$

Étape 5.4.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 5.4.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 5.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Étape 6

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(- 25, 0)$

Foyer : $(- \frac{101}{4}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = - \frac{99}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Étape 7