Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 9}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 9$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 4

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x - 3$

Étape 5

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{x + 1}{x + 3}$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.3

Remplacez $x$ par $3$ dans $\frac{x + 1}{x + 3}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Remplacez $x$ par $3$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{3 + 1}{3 + 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4}{3 + 3}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{4}{6}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Étape 5.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 5.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 5.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$

Étape 5.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(3, \frac{2}{3})$

Étape 6