Algèbre Exemples

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $b a$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}$ par $\frac{b a}{b a}$ .

$\frac{b a}{b a} \cdot \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{b a (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})}{b a (1 + \frac{b}{a})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b a \frac{a}{b} + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b a$ .

$\frac{b (a) \frac{a}{b} + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b a \frac{a}{b} + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a \cdot a + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{1} a^{1} + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{1 + 1} + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} + b a (- \frac{b}{a})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{a}$ dans le numérateur.

$\frac{a^{2} + b a \frac{- b}{a}}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $a$ à partir de $b a$ .

$\frac{a^{2} + a b \frac{- b}{a}}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} + a b \frac{- b}{a}}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} + b (- b)}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.7

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} - (b^{1} b)}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.8

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} - (b^{1} b^{1})}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} - b^{1 + 1}}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + b a \frac{b}{a}}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $a$ à partir de $b a$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + a b \frac{b}{a}}$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + a b \frac{b}{a}}$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + b \cdot b}$

Étape 3.12

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + b^{1} b}$

Étape 3.13

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + b^{1} b^{1}}$

Étape 3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + b^{1 + 1}}$

Étape 3.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a^{2} - b^{2}}{b a \cdot 1 + b^{2}}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{b a \cdot 1 + b^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $b$ à partir de $b a \cdot 1 + b^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b a \cdot 1$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{b (a \cdot 1) + b^{2}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{2}$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{b (a \cdot 1) + b \cdot b}$

Étape 5.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b (a \cdot 1) + b \cdot b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{b (a \cdot 1 + b)}$

Étape 5.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{b (a + b)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + b) (a - b)}{b (a + b)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - b}{b}$