Algèbre Exemples

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Étape 1

Développez $(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.4.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.2

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} i)}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - \frac{2^{1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} - \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6.2

Divisez $i$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7

Multipliez $i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.7.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $i$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.2

Associez $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.9.2

Divisez $i$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Étape 2.1.10

Multipliez $i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.10.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- (i^{1} i) \sqrt{2})$

Étape 2.1.10.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{2})$

Étape 2.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- i^{1 + 1} \sqrt{2})$

Étape 2.1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- i^{2} \sqrt{2})$

Étape 2.1.10.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Étape 2.1.10.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Étape 2.1.10.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.10.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - - 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.13

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - i + i + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{1}$

Étape 2.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} - i + i + 2$

Étape 2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} - i + i$

Étape 2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - i + i$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2} - i + i$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1 + 4}{2} - i + i$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{5}{2} - i + i$

Étape 2.6

Additionnez $- i$ et $i$ .

$\frac{5}{2} + 0$

Étape 2.7

Additionnez $\frac{5}{2}$ et $0$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{2}$