Algèbre Exemples

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7$

Étape 1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 7$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Étape 2.1.1.3.2.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 2.1.1.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Étape 2.1.1.3.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$d = 4$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = - 7 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$e = - 7 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - 7 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Multipliez $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = - 7 - (4 \cdot - 2)$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = - 7 - - 8$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$e = - 7 + 8$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $- 7$ et $8$ .

$e = 1$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$

Étape 2.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 1$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 2.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 2.5.3.3

Divisez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{2}, - 4)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 4$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(1, - 4)$

Foyer : $(\frac{1}{2}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = \frac{3}{2}$

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(1, - 4)$

Foyer : $(\frac{1}{2}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = \frac{3}{2}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, - 6)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (1 + 1)}$

Étape 3.1.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{4}$

Étape 3.1.2.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.1.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 1) = - 4 - 1 \cdot 2$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- 1) = - 4 - 2$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$f (- 1) = - 6$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.1.3

Convertissez $- 6$ en décimale.

$= - 6$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, - 2)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (1 + 1)}$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{4}$

Étape 3.2.2.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.2.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 1) = - 4 + 2$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 3.2.3

Convertissez $- 2$ en décimale.

$= - 2$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 5.41421356)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (0 + 1)}$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2}$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $- 4 - \sqrt{2}$ .

$y = - 4 - \sqrt{2}$

Étape 3.3.3

Convertissez $- 4 - \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 5.41421356$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 2.58578643)$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (0 + 1)}$

Étape 3.4.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.2

La réponse finale est $- 4 + \sqrt{2}$ .

$y = - 4 + \sqrt{2}$

Étape 3.4.3

Convertissez $- 4 + \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 2.58578643$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(1, - 4)$

Foyer : $(\frac{1}{2}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = \frac{3}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Étape 5