Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 4}}{\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2} - 16}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} + 5 x - 3}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} + 5 x - 3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 4^{2}}{2 x^{2} + 5 x - 3}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + 5 x - 3}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + 5 (x) - 3}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Étape 5.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(2 x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (2 x - 1)}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (2 x - 1)}$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{x - 4} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4)}{2 x - 1}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x - 1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 x - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 x - 1}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$(x - 1) \frac{x + 4}{2 x - 1}$

Étape 7

Multipliez $x - 1$ par $\frac{x + 4}{2 x - 1}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{2 x - 1}$