Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x} \geq 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x + 3}{x} - 2 \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 3}{x} - 2$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} \geq 0$

Étape 2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x} + \frac{- 2 x}{x} \geq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 3 - 2 x}{x} \geq 0$

Étape 2.4

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 3}{x} \geq 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 3}{x} \geq 0$

Étape 2.6

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 3)}{x} \geq 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x - 3)}{x} \geq 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{- 1 (x - 3)}{x} \geq 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 3}{x} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 3$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = 0, 3$

Étape 7

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 3}{x}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 3}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) + 3}{- 2} \geq 2$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 0.5$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(2) + 3}{2} \geq 2$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $2.5$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(6) + 3}{6} \geq 2$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $1.5$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 3$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x \leq 3$

Notation d’intervalle :

$(0, 3]$

Étape 12