Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 16} + \frac{8 (x - 2)}{16 - x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 4^{2}} + \frac{8 (x - 2)}{16 - x^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{16 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{4^{2} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (4 - x)}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4) - x)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4) - (x))}$

Étape 1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 4) - (x)$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4 + x))}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.5.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4 + x))}$ au numérateur.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{- (8 (x - 2))}{(x + 4) (- 4 + x)}$

Étape 1.2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{- (8 (x - 2))}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - (8 (x - 2))}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{x^{2} - 8 (x - 2)}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 8 x - 8 \cdot - 2}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.3

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x - 4)}^{2}$ et $x - 4$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x - 4$ à partir de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{x + 4}$