Algèbre Exemples

$y^{2} = x^{2} - 3$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 3}$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

Étape 2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 3$

Étape 4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Étape 4.4

Écrivez $| x | \geq \sqrt{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq \sqrt{3}$

Étape 4.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Étape 4.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.5

Déterminez l’intersection de $x \geq \sqrt{3}$ et $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 4.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 4.6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Étape 4.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - \sqrt{3}$ ou $x \geq \sqrt{3}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Étape 6

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty), {x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 8