Algèbre Exemples

$\frac{8^{\frac{x}{2}}}{4^{\frac{x}{3}}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 1

Placez $4^{\frac{x}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$8^{\frac{x}{2}} \cdot 4^{- \frac{x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{x}{2}} \cdot 4^{- \frac{x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{x}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 \frac{x}{2}} \cdot 4^{- \frac{x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 3.2

Associez $3$ et $\frac{x}{2}$ .

$2^{\frac{3 x}{2}} \cdot 4^{- \frac{x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{\frac{3 x}{2}} \cdot {(2^{2})}^{- \frac{x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{- \frac{x}{3}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3 x}{2}} \cdot 2^{2 (- \frac{x}{3})} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $2 (- \frac{x}{3})$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{\frac{3 x}{2}} \cdot 2^{- 2 \frac{x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{3}$ .

$2^{\frac{3 x}{2}} \cdot 2^{\frac{- 2 x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{3 x}{2}} \cdot 2^{- \frac{2 x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{\frac{3 x}{2} - \frac{2 x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{3 x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{3 x}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 8

Pour écrire $- \frac{2 x}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3 x}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{3 x}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{3 x \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$2^{\frac{3 x \cdot 3}{6} - \frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{2 x}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3 x \cdot 3}{6} - \frac{2 x \cdot 2}{3 \cdot 2}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 9.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$2^{\frac{3 x \cdot 3}{6} - \frac{2 x \cdot 2}{6}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{3 x \cdot 3 - 2 x \cdot 2}{6}} = 2^{- \frac{5}{2}}$

Étape 11

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$\frac{3 x \cdot 3 - 2 x \cdot 2}{6} = - \frac{5}{2}$

Étape 12

Résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Multipliez les deux côtés par $6$ .

$\frac{3 x \cdot 3 - 2 x \cdot 2}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1.1

Simplifiez $\frac{3 x \cdot 3 - 2 x \cdot 2}{6} \cdot 6$ .

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Étape 12.2.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x \cdot 3 - 2 x \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x \cdot 3$ .

$\frac{x (3 \cdot 3) - 2 x \cdot 2}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 \cdot 3) + x (- 2 \cdot 2)}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 \cdot 3) + x (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{x (3 \cdot 3 - 2 \cdot 2)}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x (9 - 2 \cdot 2)}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{x (9 - 4)}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.1.4

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\frac{x \cdot 5}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 12.2.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 5}{6} \cdot 6 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \cdot 5 = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.1.1.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$5 x = - \frac{5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.1

Simplifiez $- \frac{5}{2} \cdot 6$ .

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Étape 12.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$5 x = \frac{- 5}{2} \cdot 6$

Étape 12.2.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$5 x = \frac{- 5}{2} \cdot (2 (3))$

Étape 12.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$5 x = \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Étape 12.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$5 x = - 5 \cdot 3$

Étape 12.2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$5 x = - 15$

Étape 12.3

Divisez chaque terme dans $5 x = - 15$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 12.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 15$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 15}{5}$

Étape 12.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 12.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 15}{5}$

Étape 12.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 15}{5}$

Étape 12.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.3.1

Divisez $- 15$ par $5$ .

$x = - 3$