Algèbre Exemples

$2 \sqrt{x - 8} < 24$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(2 \sqrt{x - 8})}^{2} < 24^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 8}$ comme ${(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 8)}^{1} < 24^{2}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x - 8) < 24^{2}$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 8 < 24^{2}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$4 x - 32 < 24^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$4 x - 32 < 576$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x < 576 + 32$

Étape 3.1.2

Additionnez $576$ et $32$ .

$4 x < 608$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $4 x < 608$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x < 608$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{608}{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $608$ par $4$ .

$x < 152$

Étape 4

Déterminez le domaine de $2 \sqrt{x - 8} - 24$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 8 \geq 0$

Étape 4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 8$

Étape 4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[8, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 8$

$8 < x < 152$

$x > 152$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sqrt{(0) - 8} < 24$

Étape 6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $8 < x < 152$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $8 < x < 152$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sqrt{(10) - 8} < 24$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2.82842712$ est inférieur au côté droit $24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 152$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 152$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 154$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $154$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \sqrt{(154) - 8} < 24$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $24.16609194$ n’est pas inférieur au côté droit $24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 8$ Faux

$8 < x < 152$ Vrai

$x > 152$ Faux

$x < 8$ Faux

$8 < x < 152$ Vrai

$x > 152$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$8 < x < 152$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$8 < x < 152$

Notation d’intervalle :

$(8, 152)$

Étape 9