Algèbre Exemples

$\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16} = 5 y + 4$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16}}^{2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16}$ comme ${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{1} = {(5 y + 4)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$25 y^{2} + 40 y + 16 = {(5 y + 4)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(5 y + 4)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(5 y + 4)}^{2}$ comme $(5 y + 4) (5 y + 4)$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = (5 y + 4) (5 y + 4)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(5 y + 4) (5 y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y + 4) + 4 (5 y + 4)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y + 4)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 y \cdot y + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 y^{2} + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $5$ par $4$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 20 y + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 20 y + 16$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $20 y$ et $20 y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 40 y + 16$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $25 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} = 40 y + 16$

Étape 3.1.2

Soustrayez $40 y$ des deux côtés de l’équation.

$25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} - 40 y = 16$

Étape 3.1.3

Associez les termes opposés dans $25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} - 40 y$ .

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Étape 3.1.3.1

Soustrayez $25 y^{2}$ de $25 y^{2}$ .

$40 y + 16 + 0 - 40 y = 16$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $40 y + 16$ et $0$ .

$40 y + 16 - 40 y = 16$

Étape 3.1.3.3

Soustrayez $40 y$ de $40 y$ .

$0 + 16 = 16$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $0$ et $16$ .

$16 = 16$

Étape 3.2

Comme $16 = 16$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $y$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$