Algèbre Exemples

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{6 x + 9} = \frac{5}{3}$

Étape 1

Factorisez $3$ à partir de $6 x + 9$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x) + 9} = \frac{5}{3}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x) + 3 (3)} = \frac{5}{3}$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} = \frac{5}{3}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 3, 3 (2 x + 3), 3$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 3, 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 2.6

Le facteur pour $x - 3$ est $x - 3$ lui-même.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $2 x + 3$ est $2 x + 3$ lui-même.

$(2 x + 3) = 2 x + 3$

$(2 x + 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $x - 3, 2 x + 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 3) (2 x + 3)$

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$3 (x - 3) (2 x + 3)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} = \frac{5}{3}$ par $3 (x - 3) (2 x + 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} = \frac{5}{3}$ par $3 (x - 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{7}{x - 3} (3 (x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{7}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3 \frac{7}{x - 3}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{7}{x - 3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{21}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$21 (2 x + 3) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$21 (2 x) + 21 \cdot 3 - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $2$ par $21$ .

$42 x + 21 \cdot 3 - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $21$ par $3$ .

$42 x + 63 - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3 (2 x + 3)$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10 x}{3 (2 x + 3)}$ dans le numérateur.

$42 x + 63 + \frac{- 10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.7.2

Factorisez $3 (2 x + 3)$ à partir de $3 (x - 3) (2 x + 3)$ .

$42 x + 63 + \frac{- 10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (2 x + 3) (x - 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$42 x + 63 + \frac{- 10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (2 x + 3) (x - 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$42 x + 63 - 10 x (x - 3) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$42 x + 63 - 10 x \cdot x - 10 x \cdot - 3 = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.9.1

Déplacez $x$ .

$42 x + 63 - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 3 = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$42 x + 63 - 10 x^{2} - 10 x \cdot - 3 = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.1.10

Multipliez $- 3$ par $- 10$ .

$42 x + 63 - 10 x^{2} + 30 x = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.2.2

Additionnez $42 x$ et $30 x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 3) (2 x + 3)$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = \frac{5}{3} (3 ((x - 3) (2 x + 3)))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = \frac{5}{3} (3 ((x - 3) (2 x + 3)))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 ((x - 3) (2 x + 3))$

Étape 3.3.2

Développez $(x - 3) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3))$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x + 3))$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x \cdot x + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 \cdot 3)$

Étape 3.3.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9)$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $6 x$ de $3 x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} - 3 x - 9)$

Étape 3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2}) + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 10 x^{2} + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 10 x^{2} - 15 x + 5 \cdot - 9$

Étape 3.3.5.3

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 10 x^{2} - 15 x - 45$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $10 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$72 x + 63 - 10 x^{2} - 10 x^{2} = - 15 x - 45$

Étape 4.1.2

Ajoutez $15 x$ aux deux côtés de l’équation.

$72 x + 63 - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 15 x = - 45$

Étape 4.1.3

Additionnez $72 x$ et $15 x$ .

$63 - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 87 x = - 45$

Étape 4.1.4

Soustrayez $10 x^{2}$ de $- 10 x^{2}$ .

$63 - 20 x^{2} + 87 x = - 45$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$63 - 20 x^{2} + 87 x + 45 = 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $63$ et $45$ .

$- 20 x^{2} + 87 x + 108 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = - 20$ , $b = 87$ et $c = 108$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 87 \pm \sqrt{87^{2} - 4 \cdot (- 20 \cdot 108)}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $87$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 - 4 \cdot - 20 \cdot 108}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 20 \cdot 108$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 + 80 \cdot 108}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $80$ par $108$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 + 8640}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $7569$ et $8640$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{16209}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $16209$ comme $3^{2} \cdot 1801$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $16209$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{9 (1801)}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 1801}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 87 \pm 3 \sqrt{1801}}{2 \cdot - 20}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$x = \frac{- 87 \pm 3 \sqrt{1801}}{- 40}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{- 87 \pm 3 \sqrt{1801}}{- 40}$ .

$x = \frac{87 \pm 3 \sqrt{1801}}{40}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{87 + 3 \sqrt{1801}}{40}, \frac{87 - 3 \sqrt{1801}}{40}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{87 + 3 \sqrt{1801}}{40}, \frac{87 - 3 \sqrt{1801}}{40}$

Forme décimale :

$x = 5.35786427 \dots, - 1.00786427 \dots$