Algèbre Exemples

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}} = 343$

Étape 1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{1} = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 5 x + 25 = 343^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $343^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez $343$ comme $7^{3}$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = {(7^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 7^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 5 x + 25 = 7^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 5 x + 25 = 7^{2}$

Étape 2.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 49$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 5 x + 25 - 49 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $49$ de $25$ .

$x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} + 5 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $5$ .

$- 3, 8$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 8) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.6

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 3, - 8$