Algèbre Exemples

$\sqrt{x + \sqrt{2 x}} = \sqrt{2 x}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + \sqrt{2 x}}}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + \sqrt{2 x}}$ comme ${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + \sqrt{2 x})}^{1} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x + \sqrt{2 x} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2 x}}^{2}$ comme $2 x$ .

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Étape 2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + \sqrt{2 x} = {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{1}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez

$x + \sqrt{2 x} = 2 x$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{2 x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x} = 2 x - x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\sqrt{2 x} = x$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x}}^{2} = x^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x)}^{1} = x^{2}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez

$2 x = x^{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$2 u - u^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $u$ à partir de $2 u - u^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u$ .

$u \cdot 2 - u^{2} = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 2 + u (- u) = 0$

Étape 6.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 2 + u (- u)$ .

$u (2 - u) = 0$

Étape 6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (2 - x) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$