Algèbre Exemples

$x y = x + y$

Étape 1

Comme $x = r \cos (θ)$ , remplacez $x$ par $r \cos (θ)$ .

$(r \cos (θ)) \cdot y = (r \cos (θ)) + y$

Étape 2

Comme $y = r \sin (θ)$ , remplacez $y$ par $r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ)) \cdot (r \sin (θ)) = r \cos (θ) + r \sin (θ)$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $r \cos (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$(r \cos (θ)) \cdot (r \sin (θ)) - r \cos (θ) = r \sin (θ)$

Étape 3.1.2

Soustrayez $r \sin (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$(r \cos (θ)) \cdot (r \sin (θ)) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Étape 3.2

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Déplacez $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cdot \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Étape 3.2.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cdot \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

$r^{2} \cos (θ) \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $r^{2} \cos (θ) \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{2} \cos (θ) \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{2} \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ)) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $r$ à partir de $- r \cos (θ)$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ)) + r (- 1 \cos (θ)) - r \sin (θ) = 0$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $r$ à partir de $- r \sin (θ)$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ)) + r (- 1 \cos (θ)) + r (- 1 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $r$ à partir de $r (r \cos (θ) \sin (θ)) + r (- 1 \cos (θ))$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cos (θ)) + r (- 1 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $r$ à partir de $r (r \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cos (θ)) + r (- 1 \sin (θ))$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cos (θ) - 1 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.3.2

Réécrivez $- 1 \cos (θ)$ comme $- \cos (θ)$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - 1 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 \sin (θ)$ comme $- \sin (θ)$ .

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r = 0$

$r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) = 0$

Étape 3.5

Définissez $r$ égal à $0$ .

$r = 0$

Étape 3.6

Définissez $r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)$ égal à $0$ .

$r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) = 0$ pour $r$ .

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Étape 3.6.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $r$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.6.2.1.1

Ajoutez $\cos (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$r \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) = \cos (θ)$

Étape 3.6.2.1.2

Ajoutez $\sin (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$r \cos (θ) \sin (θ) = \cos (θ) + \sin (θ)$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $r \cos (θ) \sin (θ) = \cos (θ) + \sin (θ)$ par $\cos (θ) \sin (θ)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $r \cos (θ) \sin (θ) = \cos (θ) + \sin (θ)$ par $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{r \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r \sin (θ)}{\sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.6.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r \sin (θ)}{\sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.2.2.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.6.2.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$r = \csc (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.6.2.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$r = \csc (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.6.2.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$r = \csc (θ) + \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 3.6.2.2.3.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$r = \csc (θ) + \sec (θ)$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $r (r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)) = 0$ vraie.

$r = 0$

$r = \csc (θ) + \sec (θ)$

$r = 0$

$r = \csc (θ) + \sec (θ)$