Algèbre Exemples

$\frac{4 + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{4 + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{- 1}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))$

Étape 2.4.2

Réécrivez $- 1 \cdot ((4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))$ comme $- ((4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))$ .

$- ((4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))$

Étape 3

Développez $(4 + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} - \sqrt{3}))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{3}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} - \sqrt{3}))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{3}) + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} (- \sqrt{3}))$

Étape 4.1.6

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 3})$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{18})$

Étape 4.1.7

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{9 (2)})$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3^{2} \cdot 2})$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (3 \sqrt{2}))$

Étape 4.1.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- (4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2})$

Étape 4.2

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- (\sqrt{2} - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3})$

Étape 4.3

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$- (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} - (- 2 \sqrt{3})$

Étape 6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$2.04988805 \dots$