Algèbre Exemples

$\frac{3 + \sqrt{8}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{3 + \sqrt{4 (2)}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 (2 \sqrt{2})}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{(2 - 4 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{4 + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{- 28}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $2 + 4 \sqrt{2}$ et $- 28$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{- 28}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 28$ .

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 (- 14)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 5

Développez $(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 6.1.4

Multipliez $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 14}$

Étape 6.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 14}$

Étape 6.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 14}$

Étape 6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 14}$

Étape 6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}{- 14}$

Étape 6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 14}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 14}$

Étape 6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

Étape 6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

Étape 6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}}{- 14}$

Étape 6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2}{- 14}$

Étape 6.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 8}{- 14}$

Étape 6.2

Additionnez $3$ et $8$ .

$\frac{11 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{- 14}$

Étape 6.3

Additionnez $6 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{11 + 8 \sqrt{2}}{- 14}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Forme décimale :

$- 1.59383632 \dots$