Algèbre Exemples

$(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5

Multipliez $\sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.5.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 + {\sqrt{2}}^{1 + 1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 + 2^{\frac{2}{2}} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 2^{1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$2 + 2 i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7

Multipliez $- i \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.1.7.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 + 2 i - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 + 2 i - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 + 2 i - i {\sqrt{2}}^{1 + 1} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 2 i - i {\sqrt{2}}^{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + 2 i - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{2}{2}} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{2}{2}} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 2 i - i \cdot 2^{1} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$2 + 2 i - i \cdot 2 - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 2.1.10

Multipliez $- i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.10.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.10.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 2.1.10.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Étape 2.1.10.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Étape 2.1.10.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.10.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i - - 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.13

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$2 + 2 i - 2 i + {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + 2 i - 2 i + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 2 i - 2 i + 2^{1}$

Étape 2.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$2 + 2 i - 2 i + 2$

Étape 2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 + 2 i - 2 i$

Étape 2.3

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$4 + 0$

Étape 2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$