Algèbre Exemples

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{A}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{A}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{B}{x + 2} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{B}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{A}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{B}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{A}{x + 1}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{A (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{B}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{B}{x + 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{A (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{B (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (x + 1)$ .

$\frac{A (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{A (x + 2) + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{A x + A \cdot 2 + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $A$ .

$\frac{A x + 2 \cdot A + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{A x + 2 A + B x + B \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.6.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$\frac{A x + 2 A + B x + B}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{A x + 2 A + B x + B - 1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$A x + 2 A + B x + B - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $B x$ des deux côtés de l’équation.

$A x + 2 A + B - 1 = - B x$

Étape 4.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A x + 2 A - 1 = - B x - B$

Étape 4.1.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$A x + 2 A = - B x - B + 1$

Étape 4.2

Factorisez $A$ à partir de $A x + 2 A$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $A$ à partir de $A x$ .

$A (x) + 2 A = - B x - B + 1$

Étape 4.2.2

Factorisez $A$ à partir de $2 A$ .

$A (x) + A \cdot 2 = - B x - B + 1$

Étape 4.2.3

Factorisez $A$ à partir de $A (x) + A \cdot 2$ .

$A (x + 2) = - B x - B + 1$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $A (x + 2) = - B x - B + 1$ par $x + 2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $A (x + 2) = - B x - B + 1$ par $x + 2$ .

$\frac{A (x + 2)}{x + 2} = \frac{- B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{A (x + 2)}{x + 2} = \frac{- B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{B x}{x + 2} - \frac{B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{- B x - B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{- B x - B + 1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- B x$ .

$A = \frac{- (B x) - B + 1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- B$ .

$A = \frac{- (B x) - (B) + 1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (B x) - (B)$ .

$A = \frac{- (B x + B) + 1}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$A = \frac{- (B x + B) - 1 (- 1)}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (B x + B) - 1 (- 1)$ .

$A = \frac{- (B x + B - 1)}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.2.8.1

Réécrivez $- (B x + B - 1)$ comme $- 1 (B x + B - 1)$ .

$A = \frac{- 1 (B x + B - 1)}{x + 2}$

Étape 4.3.3.2.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = - \frac{B x + B - 1}{x + 2}$