Algèbre Exemples

$\frac{9 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x y}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réorganisez les termes.

$\frac{9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 12 x y + 4 y^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 12 x y + {(2 y)}^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 1.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x y = 2 \cdot (3 x) \cdot (2 y)$

Étape 1.5

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot (2 y) + {(2 y)}^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 1.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 x$ et $b = 2 y$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{{(2 y)}^{2} - 9 x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{{(2 y)}^{2} - {(3 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 y$ et $b = 3 x$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - (3 x))}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à ${(3 x - 2 y)}^{2}$ et $2 y - 3 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$\frac{{(- (- 3 x) - 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{{(- (- 3 x) - (2 y))}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 x) - (2 y)$ .

$\frac{{(- (- 3 x + 2 y))}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- (- 3 x + 2 y)$ comme $- 1 (- 3 x + 2 y)$ .

$\frac{{(- 1 (- 3 x + 2 y))}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.5

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- 3 x + 2 y)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 {(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.7

Multipliez ${(- 3 x + 2 y)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Étape 3.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (- 3 x + 2 y)}$

Étape 3.1.9

Factorisez $- 3 x + 2 y$ à partir de ${(- 3 x + 2 y)}^{2}$ .

$\frac{(- 3 x + 2 y) (- 3 x + 2 y)}{(2 y + 3 x) (- 3 x + 2 y)}$

Étape 3.1.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.10.1

Factorisez $- 3 x + 2 y$ à partir de $(2 y + 3 x) (- 3 x + 2 y)$ .

$\frac{(- 3 x + 2 y) (- 3 x + 2 y)}{(- 3 x + 2 y) (2 y + 3 x)}$

Étape 3.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 3 x + 2 y) (- 3 x + 2 y)}{(- 3 x + 2 y) (2 y + 3 x)}$

Étape 3.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x + 2 y}{2 y + 3 x}$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 2 y}{2 y + 3 x}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$\frac{- (3 x) - (- 2 y)}{2 y + 3 x}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - (- 2 y)$ .

$\frac{- (3 x - 2 y)}{2 y + 3 x}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $- (3 x - 2 y)$ comme $- 1 (3 x - 2 y)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 2 y)}{2 y + 3 x}$

Étape 3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 2 y}{2 y + 3 x}$