Algèbre Exemples

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} > 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} + \frac{- (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 x - 4 - (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x - 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $2 x$ de $5 x$ .

$\frac{3 x - 4 - 1}{2 x + 1} > 0$

Étape 2.4.5

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{3 x - 5}{2 x + 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x - 5 = 0$

$2 x + 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 5$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{5}{3}$

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$

$x > \frac{5}{3}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (- 3) - 4}{2 (- 3) + 1} > 1$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $3.8$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (0) - 4}{2 (0) + 1} > 1$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{5}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{5 (4) - 4}{2 (4) + 1} > 1$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $1.\overline{7}$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Faux

$x > \frac{5}{3}$ Vrai

$x < - \frac{1}{2}$ Vrai

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Faux

$x > \frac{5}{3}$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{1}{2}$ ou $x > \frac{5}{3}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{1}{2} or x > \frac{5}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Étape 15