Algèbre Exemples

$\frac{(x^{2} - x - 2) (x^{2} - 9)}{(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} + x - 6)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x^{2} - 9)}{(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} + x - 6)}$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x^{2} - 3^{2})}{(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} + x - 6)}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3) (x - 3)}{(x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} + x - 6)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x^{2} + x - 6)}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) ((x - 2) (x + 3))}$

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x - 2) (x + 3)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x - 2) (x + 3)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x + 1) (x + 3)) (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$