Algèbre Exemples

$x^{9} - x^{5} + x^{4} - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{9} - x^{5}) + x^{4} - 1 = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{5} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1) = 0$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{4} - 1$ .

$(x^{4} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 1.6.2

Factorisez.

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Étape 1.6.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 1.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6

Définissez $x^{5} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{5} + 1$ égal à $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{5} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{5} = - 1$

Étape 6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Étape 6.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = - 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$ vraie.

$x = i, - i, - 1, 1$