Algèbre Exemples

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 1^{2} + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 6

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 2 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) - 2 x$

Étape 6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$

Étape 6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1)$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1^{2})$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x ((x + 1) (x - 1))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Étape 9

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Étape 9.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $2 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$

Étape 9.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x)$

Étape 10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 10.1

Réorganisez les termes.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 10.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2})$

Étape 10.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 10.4

Réécrivez le polynôme.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 10.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Étape 11

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Déplacez ${(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$

Étape 11.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 11.2.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

${(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} (x - 1)$

Étape 11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 1)}^{2 + 1} (x - 1)$

Étape 11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

${(x + 1)}^{3} (x - 1)$