Algèbre Exemples

$x^{2} - 9 x + 18 > 2 (x - 3)$

Étape 1

Simplifiez $2 (x - 3)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$x^{2} - 9 x + 18 > 0 + 0 + 2 (x - 3)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x^{2} - 9 x + 18 > 2 (x - 3)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 9 x + 18 > 2 x + 2 \cdot - 3$

Étape 1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} - 9 x + 18 > 2 x - 6$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 9 x + 18 - 2 x > - 6$

Étape 2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 9 x$ .

$x^{2} - 11 x + 18 > - 6$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 11 x + 18 = - 6$

Étape 4

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 11 x + 18 + 6 = 0$

Étape 5

Additionnez $18$ et $6$ .

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 8, - 3$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 8) (x - 3) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 8

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 9

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 8) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 8, 3$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3$

$3 < x < 8$

$x > 8$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18 > 2 ((0) - 3)$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} - 9 \cdot 6 + 18 > 2 ((6) - 3)$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

${(10)}^{2} - 9 \cdot 10 + 18 > 2 ((10) - 3)$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $28$ est supérieur au côté droit $14$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3$ Vrai

$3 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

$x < 3$ Vrai

$3 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 3$ ou $x > 8$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 3 or x > 8$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 3) \cup (8, \infty)$

Étape 15