Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 3 x y}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x y$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 3 x y}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 3 y)$ .

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + y) (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{y}{x - y}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y (x + y)}{(x - y) (x + y)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 3 y) + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x (- 3 y) + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x (- 3 y) + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - 3 x y + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x y + y x + y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.5

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} - 3 x y + y x + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.6

Additionnez $- 3 x y$ et $y x$ .

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Étape 5.6.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x y + x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.6.2

Additionnez $- 3 x y$ et $x y$ .

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.7.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Étape 5.7.2

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.7.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${(x - y)}^{2}$ et $x - y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - y$ à partir de ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $x - y$ à partir de $(x + y) (x - y)$ .

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x + y)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x + y)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - y}{x + y}$