Algèbre Exemples

$(\frac{a}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$(\frac{a}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{a - b}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$(\frac{a}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - b) (a + b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{a - b}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{a - b}{a + b}$ par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$(\frac{a (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a - b) (a + b)$ .

$(\frac{a (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{a (a + b) - (a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (a + b) - (a - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot a + a b - (a - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - (a - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + a b + (- a - - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.4

Multipliez $- - b$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a b + (- a + 1 b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.4.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{a^{2} + a b + (- a + b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.5

Développez $(- a + b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + a b - a (a - b) + b (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + a b - a \cdot a - a (- b) + b (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} + a b - a \cdot a - a (- b) + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - (a \cdot a) - a (- b) + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} - a (- b) + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + 1 a b + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a - b \cdot b + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.6

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.6.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a - (b \cdot b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.1.6.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 6.6.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 6.6.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + 2 a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $a^{2} + a b - a^{2} + 2 a b - b^{2} + b^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{a b + 0 + 2 a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7.1.2

Additionnez $a b$ et $0$ .

$\frac{a b + 2 a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7.1.3

Additionnez $- b^{2}$ et $b^{2}$ .

$\frac{a b + 2 a b + 0}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7.1.4

Additionnez $a b + 2 a b$ et $0$ .

$\frac{a b + 2 a b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7.2

Additionnez $a b$ et $2 a b$ .

$\frac{3 a b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $3 a b$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(a + b) (a - b)} \cdot (a - b)$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $a - b$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $a - b$ à partir de $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{1}{(a - b) (a + b)} \cdot (a - b)$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(a - b) (a + b)} \cdot (a - b)$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{a + b}$