Algèbre Exemples

$4 x - 2 y = y^{2} - 23$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = y^{2} - 23 + 2 y$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 x = y^{2} - 23 + 2 y$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = y^{2} - 23 + 2 y$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 23}{4} + \frac{2 y}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 23}{4} + \frac{2 y}{4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 23}{4} + \frac{2 y}{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{23}{4} + \frac{2 y}{4}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{23}{4} + \frac{2 (y)}{4}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{23}{4} + \frac{2 y}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{23}{4} + \frac{2 y}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{23}{4} + \frac{y}{2}$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déplacez $- \frac{23}{4}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} - \frac{23}{4}$

Étape 3.1.2

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} - \frac{23}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = - \frac{23}{4}$

Étape 3.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 3.1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 3.1.2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.1.2.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 3.1.2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 3.1.2.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 3.1.2.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 3.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{23}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{23}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.4.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{23}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.4.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{23}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 3.1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{23}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Étape 3.1.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = - \frac{23}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Étape 3.1.2.4.2.1.4

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{23}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 3.1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 23 - 1}{4}$

Étape 3.1.2.4.2.3

Soustrayez $1$ de $- 23$ .

$e = \frac{- 24}{4}$

Étape 3.1.2.4.2.4

Divisez $- 24$ par $4$ .

$e = - 6$

Étape 3.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} - 6$ .

$\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} - 6$

Étape 3.1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 1)}^{2} - 6$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 6$

$k = - 1$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 6, - 1)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 3.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 3.5.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, - 1)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 1$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 7$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 6, - 1)$

Foyer : $(- 5, - 1)$

Axe de symétrie : $y = - 1$

Directrice : $x = - 7$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 6, - 1)$

Foyer : $(- 5, - 1)$

Axe de symétrie : $y = - 1$

Directrice : $x = - 7$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = - 1 - 2 \sqrt{x + 6}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - 1 - 2 \sqrt{(- 5) + 6}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$f (- 5) = - 1 - 2 \sqrt{1}$

Étape 4.1.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 5) = - 1 - 2 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- 5) = - 1 - 2$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (- 5) = - 3$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 4.1.3

Convertissez $- 3$ en décimale.

$= - 3$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = - 1 + 2 \sqrt{x + 6}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - 1 + 2 \sqrt{(- 5) + 6}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$f (- 5) = - 1 + 2 \sqrt{1}$

Étape 4.2.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 5) = - 1 + 2 \cdot 1$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 5) = - 1 + 2$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 5) = 1$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 4.2.3

Convertissez $1$ en décimale.

$= 1$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $- 4$ dans $f (x) = - 1 - 2 \sqrt{x + 6}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4, - 3.82842712)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 1 - 2 \sqrt{(- 4) + 6}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$f (- 4) = - 1 - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $- 1 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 1 - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.3.3

Convertissez $- 1 - 2 \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 3.82842712$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $- 4$ dans $f (x) = - 1 + 2 \sqrt{x + 6}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4, 1.82842712)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - 1 + 2 \sqrt{(- 4) + 6}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$f (- 4) = - 1 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $- 1 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 1 + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.3

Convertissez $- 1 + 2 \sqrt{2}$ en décimale.

$= 1.82842712$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - 3 \\ - 5 & 1 \\ - 4 & - 3.83 \\ - 4 & 1.83 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 6, - 1)$

Foyer : $(- 5, - 1)$

Axe de symétrie : $y = - 1$

Directrice : $x = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - 3 \\ - 5 & 1 \\ - 4 & - 3.83 \\ - 4 & 1.83 \end{array}$

Étape 6