Algèbre Exemples

$\frac{a^{- 2} - b^{- 2}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $a^{- 2}$ comme ${(a^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(a^{- 1})}^{2} - b^{- 2}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $b^{- 2}$ comme ${(b^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(a^{- 1})}^{2} - {(b^{- 1})}^{2}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a^{- 1}$ et $b = b^{- 1}$ .

$\frac{(a^{- 1} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{a} + b^{- 1}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.3

Pour écrire $\frac{1}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.4

Pour écrire $\frac{1}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a b$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(\frac{b}{a b} + \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{b a}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Réorganisez les facteurs de $b a$ .

$\frac{(\frac{b}{a b} + \frac{a}{a b}) (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{b + a}{a b} (a^{- 1} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} - b^{- 1})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.9

Pour écrire $\frac{1}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.10

Pour écrire $- \frac{1}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a b$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.11.1

Multipliez $\frac{1}{a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.11.2

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{b a})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.11.3

Réorganisez les facteurs de $b a$ .

$\frac{\frac{b + a}{a b} (\frac{b}{a b} - \frac{a}{a b})}{a^{2} b^{2}}$

Étape 1.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{b + a}{a b} \cdot \frac{b - a}{a b}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{b + a}{a b}$ par $\frac{b - a}{a b}$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a b (a b)}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a b \cdot b}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1} a^{1} b \cdot b}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{1 + 1} b \cdot b}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b \cdot b}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.5

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b)}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.6

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} (b^{1} b^{1})}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{1 + 1}}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{2}}}{a^{2} b^{2}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a^{2} b^{2}} \cdot \frac{1}{a^{2} b^{2}}$

Étape 5

Associez.

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{2} b^{2} (a^{2} b^{2})}$

Étape 6

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{2} a^{2} b^{2} b^{2}}$

Étape 6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{2 + 2} b^{2} b^{2}}$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{4} b^{2} b^{2}}$

Étape 7

Multipliez $b^{2}$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $b^{2}$ .

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{4} (b^{2} b^{2})}$

Étape 7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{4} b^{2 + 2}}$

Étape 7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{(b + a) (b - a) \cdot 1}{a^{4} b^{4}}$

Étape 8

Multipliez $(b + a) (b - a)$ par $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a^{4} b^{4}}$