Algèbre Exemples

$\sqrt[4]{81 {(x^{4} - 16)}^{4}}$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Étape 1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 5

Développez $(x^{2} + 4) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 6.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\sqrt[4]{81 {((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 9

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$\sqrt[4]{81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Étape 10

Réécrivez $81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ comme ${(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}$ .

$\sqrt[4]{{(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}}$

Étape 11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Étape 12

Simplifiez en multipliant.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x + 3 \cdot 2) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Étape 12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(3 x + 6) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Étape 13

Développez $(3 x + 6) (x^{2} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x (x^{2} + 4) + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2)$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2)$

Étape 13.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(3 (x^{2} x) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Étape 14.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 14.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(3 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Étape 14.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Étape 14.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(3 x^{3} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Étape 14.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Étape 14.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$

Étape 15

Développez $(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 x^{3} x + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16

Simplifiez les termes.

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1.1.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 16.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{1} x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{1 + 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$3 x^{4} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1.3.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.4

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.1.5.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 16.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.6

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 24 \cdot - 2$

Étape 16.1.7

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Étape 16.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$ .

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Étape 16.2.1

Additionnez $- 6 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x + 0 - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Étape 16.2.2

Additionnez $3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Étape 16.2.3

Soustrayez $12 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 24 x + 0 + 24 x - 48$

Étape 16.2.4

Additionnez $3 x^{4} - 24 x$ et $0$ .

$3 x^{4} - 24 x + 24 x - 48$

Étape 16.2.5

Additionnez $- 24 x$ et $24 x$ .

$3 x^{4} + 0 - 48$

Étape 16.2.6

Additionnez $3 x^{4}$ et $0$ .

$3 x^{4} - 48$