Algèbre Exemples

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

Étape 1

Soustrayez $17 e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Étape 2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Étape 3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

Étape 4

Déplacez $- 5$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 u$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $3$ plus $- 20$

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Étape 5.3

Définissez $4 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $4 u + 1$ égal à $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $4 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 u = - 1$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{4}$

Étape 5.4

Définissez $3 u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $3 u - 5$ égal à $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $3 u - 5 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u = 5$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = 5$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $- \frac{1}{4}$ dans $u = e^{x}$ .

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $- \frac{1}{4} = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = - \frac{1}{4}$ .

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

Étape 7.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- \frac{1}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.4

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = - \frac{1}{4}$

Aucune solution

Étape 8

Remplacez $u$ par $\frac{5}{3}$ dans $u = e^{x}$ .

$\frac{5}{3} = e^{x}$

Étape 9

Résolvez $\frac{5}{3} = e^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = \frac{5}{3}$ .

$e^{x} = \frac{5}{3}$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

Étape 9.3

Développez le côté gauche.

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Étape 9.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

Étape 9.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

Étape 9.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Forme décimale :

$x = 0.51082562 \dots$