Algèbre Exemples

$8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$8 x^{3} + 1 + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

${(2 x)}^{3} + 1 + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(2 x)}^{3} + 1^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$(2 x + 1) (2^{2} x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.5.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.6

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Étape 1.6.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Étape 1.6.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (2 x) + 6 x (1)$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x + 1) = 0$

Étape 1.7

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x + 1)$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $6 x (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + (2 x + 1) (6 x) = 0$

Étape 1.7.2

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + (2 x + 1) (6 x)$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1 + 6 x) = 0$

Étape 1.8

Additionnez $- 2 x$ et $6 x$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Étape 1.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.9.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} + 4 x + 1) = 0$

Étape 1.9.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Étape 1.9.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Étape 1.9.4

Réécrivez le polynôme.

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.9.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(2 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$x = - 0.5$