Algèbre Exemples

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{{(i - \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez ${(i - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})}$

Étape 2

Développez $(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (i - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (i - \sqrt{3})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (i - \sqrt{3})}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $i i$ .

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Étape 3.1.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1} i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.1.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1} i^{1} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1 + 1} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{2} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{1}}$

Étape 3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3}$

Étape 3.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 2}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $- \sqrt{3} i$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (- \sqrt{3}) - i \sqrt{3} + 2}$

Étape 3.4

Soustrayez $i \sqrt{3}$ de $i (- \sqrt{3})$ .

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Étape 3.4.1

Remettez dans l’ordre $i$ et $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 \cdot i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 2}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $i \sqrt{3}$ de $- 1 \cdot i \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 2 i \sqrt{3} + 2}$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $- 2 i \sqrt{3}$ et $2$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{(2 - 2 i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}$

Étape 6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{4 + 4 (i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} - 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{16}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $2 + 2 i \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{16}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{2 (8)}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Étape 7

Développez $(3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 8.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 8.1.3

Multipliez $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 8.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Étape 8.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Étape 8.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Étape 8.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Étape 8.1.3.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{8}$

Étape 8.1.3.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{8}$

Étape 8.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{8}$

Étape 8.1.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Étape 8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Étape 8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Étape 8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}}{8}$

Étape 8.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{8}$

Étape 8.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3}{8}$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + 0}{8}$

Étape 8.3

Additionnez $3 i \sqrt{3}$ et $i \sqrt{3}$ .

$\frac{4 i \sqrt{3} + 0}{8}$

Étape 8.4

Additionnez $4 i \sqrt{3}$ et $0$ .

$\frac{4 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 9.1

Factorisez $4$ à partir de $4 i \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$