Algèbre Exemples

$2.25 y^{2} - 3 y + 1 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2.25 y^{2} - 3 y + 1 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $0.25$ à partir de $2.25 y^{2} - 3 y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $0.25$ à partir de $2.25 y^{2}$ .

$0.25 (9 y^{2}) - 3 y + 1 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $0.25$ à partir de $- 3 y$ .

$0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y) + 1 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $0.25$ à partir de $1$ .

$0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y) + 0.25 (4) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y)$ .

$0.25 (9 y^{2} - 12 y) + 0.25 (4) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $0.25$ à partir de $0.25 (9 y^{2} - 12 y) + 0.25 (4)$ .

$0.25 (9 y^{2} - 12 y + 4) = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 12 y + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 12 y + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 y = 2 \cdot (3 y) \cdot 2$

Étape 2.2.4

Réécrivez le polynôme.

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 2 \cdot (3 y) \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 y$ et $b = 2$ .

$0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$ par $0.25$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$ par $0.25$ .

$\frac{0.25 {(3 y - 2)}^{2}}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $0.25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.25 {(3 y - 2)}^{2}}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Étape 3.2.1.2

Divisez ${(3 y - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(3 y - 2)}^{2} = \frac{0}{0.25}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $0.25$ .

${(3 y - 2)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez le $3 y - 2$ égal à $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Étape 5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 2$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 2$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < \frac{2}{3}$

$y > \frac{2}{3}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 7.1.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2.25 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1 < 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $1$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $y > \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 3$

Étape 7.2.2

Remplacez $y$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2.25 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1 < 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $12.25$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < \frac{2}{3}$ Faux

$y > \frac{2}{3}$ Faux

$y < \frac{2}{3}$ Faux

$y > \frac{2}{3}$ Faux

Étape 8

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution