Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 4 x^{2} + 2 x}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x (1)}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (2 x)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 2 x) + 2 x (1)}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2} + 2 x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 2 x + 1)}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{2}}{6 x^{3} - 6 x}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3} - 6 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{2}}{6 x (x^{2}) - 6 x}$

Étape 2.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{2}}{6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)}$

Étape 2.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{2}}{6 x (x^{2} - 1)}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{2}}{6 x (x^{2} - 1^{2})}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{2}}{6 x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 (x {(x + 1)}^{2})}{6 x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 (x {(x + 1)}^{2})}{2 (3 x (x + 1) (x - 1))}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x {(x + 1)}^{2})}{2 (3 x (x + 1) (x - 1))}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{3 x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{3 x (x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(3 (x + 1)) (x - 1)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(3 (x + 1)) (x - 1)}$

Étape 3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(3 (x + 1)) (x - 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) ((3) (x - 1))}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) ((3) (x - 1))}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{(3) (x - 1)}$

$\frac{x + 1}{3 (x - 1)}$