Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{2 x^{2} + 1} - \frac{5}{1 - 2 x}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x + 3}{2 x^{2} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{x + 3}{2 x^{2} + 1} \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} - \frac{5}{1 - 2 x}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{5}{1 - 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2} + 1}$ .

$\frac{x + 3}{2 x^{2} + 1} \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} - \frac{5}{1 - 2 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2} + 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x^{2} + 1) (1 - 2 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 3}{2 x^{2} + 1}$ par $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{(x + 3) (1 - 2 x)}{(2 x^{2} + 1) (1 - 2 x)} - \frac{5}{1 - 2 x} \cdot \frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2} + 1}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{5}{1 - 2 x}$ par $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2} + 1}$ .

$\frac{(x + 3) (1 - 2 x)}{(2 x^{2} + 1) (1 - 2 x)} - \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} + 1) (1 - 2 x)$ .

$\frac{(x + 3) (1 - 2 x)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)} - \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) (1 - 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(x + 3) (1 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 - 2 x) + 3 (1 - 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 x) + 3 (1 - 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x (- 2 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - 2 x \cdot x + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 2 (x \cdot x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 3 \cdot 1 + 3 (- 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 3 + 3 (- 2 x) - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{x - 2 x^{2} + 3 - 6 x - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 5 x - 2 x^{2} + 3 - 5 (2 x^{2} + 1)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 x - 2 x^{2} + 3 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x - 2 x^{2} + 3 - 10 x^{2} - 5 \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{- 5 x - 2 x^{2} + 3 - 10 x^{2} - 5}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.6

Soustrayez $10 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x - 12 x^{2} + 3 - 5}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.7

Soustrayez $5$ de $3$ .

$\frac{- 5 x - 12 x^{2} - 2}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 12 x^{2} - 5 x - 2}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{- (12 x^{2}) - 5 x - 2}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{- (12 x^{2}) - (5 x) - 2}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2}) - (5 x)$ .

$\frac{- (12 x^{2} + 5 x) - 2}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (12 x^{2} + 5 x) - 1 (2)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2} + 5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (12 x^{2} + 5 x + 2)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (12 x^{2} + 5 x + 2)$ comme $- 1 (12 x^{2} + 5 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (12 x^{2} + 5 x + 2)}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 x^{2} + 5 x + 2}{(1 - 2 x) (2 x^{2} + 1)}$