Algèbre Exemples

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}}{\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $b (a + b) a$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}}{\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b}}$ par $\frac{b (a + b) a}{b (a + b) a}$ .

$\frac{b (a + b) a}{b (a + b) a} \cdot \frac{\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}}{\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b}}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{b (a + b) a (\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (a + b) a \frac{a + b}{b} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b (a + b) a$ .

$\frac{b ((a + b) a) \frac{a + b}{b} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b ((a + b) a) \frac{a + b}{b} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + b) a (a + b) + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.2

Élevez $a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{1} (a + b)) + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.3

Élevez $a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}) + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a {(a + b)}^{1 + 1} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 4.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{a}{a + b}$ dans le numérateur.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (a + b) a \frac{- a}{a + b}}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.6.2

Factorisez $a + b$ à partir de $b (a + b) a$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- a}{a + b}}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- a}{a + b}}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b a (- a)}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.7

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- (a^{1} a))}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.8

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- (a^{1} a^{1}))}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{1 + 1})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 4.11.1

Factorisez $a$ à partir de $b (a + b) a$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{a (b (a + b)) \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{a (b (a + b)) \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b (a + b) (a + b) + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.12

Élevez $a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b ({(a + b)}^{1} (a + b)) + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.13

Élevez $a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b ({(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}) + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{1 + 1} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Étape 4.16

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 4.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{a + b}$ dans le numérateur.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + b (a + b) a \frac{- b}{a + b}}$

Étape 4.16.2

Factorisez $a + b$ à partir de $b (a + b) a$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- b}{a + b}}$

Étape 4.16.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- b}{a + b}}$

Étape 4.16.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + b a (- b)}$

Étape 4.17

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- (b^{1} b))}$

Étape 4.18

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- (b^{1} b^{1}))}$

Étape 4.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{1 + 1})}$

Étape 4.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $a$ à partir de $a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a$ à partir de $a {(a + b)}^{2}$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{2}) + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.1.2

Factorisez $a$ à partir de $b (- a^{2})$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{2}) + a (b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a ({(a + b)}^{2}) + a (b (- a))$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.2

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$\frac{a ((a + b) (a + b) + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.3

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a (a + b) + b (a + b) + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a \cdot a + a b + b (a + b) + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a (a^{2} + a b + b a + b^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.4.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 5.4.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{a (a^{2} + a b + a b + b^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.6

Soustrayez $b a$ de $2 a b$ .

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Étape 5.6.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + 2 a b - a b)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $a b$ de $2 a b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + 1 a b)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 5.7

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $b$ à partir de $b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b {(a + b)}^{2}$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ({(a + b)}^{2}) + a (- b^{2})}$

Étape 6.1.2

Factorisez $b$ à partir de $a (- b^{2})$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ({(a + b)}^{2}) + b (a (- b))}$

Étape 6.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b ({(a + b)}^{2}) + b (a (- b))$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ({(a + b)}^{2} + a (- b))}$

Étape 6.2

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ((a + b) (a + b) + a (- b))}$

Étape 6.3

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a (a + b) + b (a + b) + a (- b))}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a \cdot a + a b + b (a + b) + a (- b))}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + a (- b))}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + a (- b))}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + a b + b a + b^{2} + a (- b))}$

Étape 6.4.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 6.4.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + a b + a b + b^{2} + a (- b))}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (- b))}$

Étape 6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a b)}$

Étape 6.6

Soustrayez $a b$ de $2 a b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + b^{2} + 1 a b)}$

Étape 6.7

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + b^{2} + a b)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $a^{2} + b^{2} + a b$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + b^{2} + a b)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a}{b}$