Algèbre Exemples

$a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 1

Regroupez les termes.

$a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 2

Factorisez $a^{3}$ à partir de $a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $a^{3}$ à partir de $a^{3} x^{2}$ .

$a^{3} (x^{2}) - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 2.2

Factorisez $a^{3}$ à partir de $- 16 a^{3} x$ .

$a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x) + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 2.3

Factorisez $a^{3}$ à partir de $64 a^{3}$ .

$a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x) + a^{3} \cdot 64 - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 2.4

Factorisez $a^{3}$ à partir de $a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x)$ .

$a^{3} (x^{2} - 16 x) + a^{3} \cdot 64 - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 2.5

Factorisez $a^{3}$ à partir de $a^{3} (x^{2} - 16 x) + a^{3} \cdot 64$ .

$a^{3} (x^{2} - 16 x + 64) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$a^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$a^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 8$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 4

Factorisez $b^{3}$ à partir de $- b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $b^{3}$ à partir de $- b^{3} x^{2}$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Étape 4.2

Factorisez $b^{3}$ à partir de $16 b^{3} x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x) - 64 b^{3}$

Étape 4.3

Factorisez $b^{3}$ à partir de $- 64 b^{3}$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x) + b^{3} \cdot - 64$

Étape 4.4

Factorisez $b^{3}$ à partir de $b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x) + b^{3} \cdot - 64$

Étape 4.5

Factorisez $b^{3}$ à partir de $b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x) + b^{3} \cdot - 64$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x - 64)$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 (x) - 64)$

Étape 5.1.2

Réécrivez $16$ comme $8$ plus $8$

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + (8 + 8) x - 64)$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 8 x + 8 x - 64)$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- 1 x^{2} + 8 x) + 8 x - 64)$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (x (- 1 x + 8) - 8 (- x + 8))$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 1 x + 8$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- 1 x + 8) (x - 8))$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- x + 8) (x - 8))$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- x + 8) (x - 8)$

Étape 7

Associez les exposants.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x) + 8) (x - 8)$

Étape 7.2

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x) - 1 (- 8)) (x - 8)$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x - 8)) (x - 8)$

Étape 7.4

Réécrivez $- (x - 8)$ comme $- 1 (x - 8)$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 (x - 8)) (x - 8)$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 (x - 8) (x - 8)$

Étape 7.6

Élevez $x - 8$ à la puissance $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 ({(x - 8)}^{1} (x - 8))$

Étape 7.7

Élevez $x - 8$ à la puissance $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 ({(x - 8)}^{1} {(x - 8)}^{1})$

Étape 7.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{1 + 1}$

Étape 7.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$

Étape 8

Factorisez ${(x - 8)}^{2}$ à partir de $a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$ .

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Étape 8.1

Factorisez ${(x - 8)}^{2}$ à partir de $a^{3} {(x - 8)}^{2}$ .

${(x - 8)}^{2} a^{3} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$

Étape 8.2

Factorisez ${(x - 8)}^{2}$ à partir de $b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$ .

${(x - 8)}^{2} a^{3} + {(x - 8)}^{2} (b^{3} \cdot - 1)$

Étape 8.3

Factorisez ${(x - 8)}^{2}$ à partir de ${(x - 8)}^{2} a^{3} + {(x - 8)}^{2} (b^{3} \cdot - 1)$ .

${(x - 8)}^{2} (a^{3} + b^{3} \cdot - 1)$

Étape 9

Réécrivez $b^{3} \cdot - 1$ comme ${(b \cdot - 1)}^{3}$ .

${(x - 8)}^{2} (a^{3} + {(b \cdot - 1)}^{3})$

Étape 10

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = b \cdot - 1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a + b \cdot - 1) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - 1 b) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - a (- 1 \cdot b) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - 1 \cdot - 1 a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + 1 a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11.1.6

Multipliez $a$ par $1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Étape 11.1.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- 1 b)}^{2}))$

Étape 11.1.8

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- b)}^{2}))$

Étape 11.1.9

Appliquez la règle de produit à $- b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- 1)}^{2} b^{2}))$

Étape 11.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + 1 b^{2}))$

Étape 11.1.11

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + b^{2}))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(x - 8)}^{2} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$