Algèbre Exemples

$f (x) = 4 x^{2}$ , $x \leq 0$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[0, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[0, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq 0$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = 4 y^{2}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 y^{2} = x$ .

$4 y^{2} = x$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = x$ par $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{4}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{4}}$ .

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $\frac{x}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} x$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{4}}$

Étape 2.2.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 2.2.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} x}$

Étape 2.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x}$

Étape 2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{2}$

Étape 2.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Étape 2.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Étape 2.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}, - \frac{\sqrt{x}}{2}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 0$

Étape 4