Algèbre Exemples

$\frac{4}{y + 2} - \frac{3}{y - 2} + \frac{12}{y^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4}{y + 2} - \frac{3}{y - 2} + \frac{12}{y^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{4}{y + 2} - \frac{3}{y - 2} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4}{y + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{4}{y + 2} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{3}{y - 2} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{3}{y - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{4}{y + 2} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{3}{y - 2} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 2) (y - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4}{y + 2}$ par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{4 (y - 2)}{(y + 2) (y - 2)} - \frac{3}{y - 2} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{y - 2}$ par $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{4 (y - 2)}{(y + 2) (y - 2)} - \frac{3 (y + 2)}{(y - 2) (y + 2)} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 2) (y + 2)$ .

$\frac{4 (y - 2)}{(y + 2) (y - 2)} - \frac{3 (y + 2)}{(y + 2) (y - 2)} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (y - 2) - 3 (y + 2)}{(y + 2) (y - 2)} + \frac{12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (y - 2) - 3 (y + 2) + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y + 4 \cdot - 2 - 3 (y + 2) + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4 y - 8 - 3 (y + 2) + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y - 8 - 3 y - 3 \cdot 2 + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{4 y - 8 - 3 y - 6 + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Soustrayez $3 y$ de $4 y$ .

$\frac{y - 8 - 6 + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $6$ de $- 8$ .

$\frac{y - 14 + 12}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 14$ et $12$ .

$\frac{y - 2}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 2}{(y + 2) (y - 2)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 2}$