Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x = 11$

Étape 1

Simplifiez $\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x$ .

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{2} - 11 x = 11$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x = 11$

Étape 1.2

Pour écrire $- 11 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x \cdot \frac{2}{2} = 11$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez $- 11 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{- 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 22 x}{2} = 11$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} = 11$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} \cdot 2 = 11 \cdot 2$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} \cdot 2 = 11 \cdot 2$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 22 x - 1 = 11 \cdot 2$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $11$ par $2$ .

$x^{2} - 22 x - 1 = 22$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $22$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 22 x - 1 - 22 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $22$ de $- 1$ .

$x^{2} - 22 x - 23 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $x^{2} - 22 x - 23$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 23$ et dont la somme est $- 22$ .

$- 23, 1$

Étape 4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 23) (x + 1) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 23 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 23$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 23$ égal à $0$ .

$x - 23 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $23$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 23$

Étape 4.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 23) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 23, - 1$